Упростить (∛a + ∛b) делённое на (2 + кубический корень из a/b + кубический корень из b/a).

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним подстановку, чтобы избавиться от радикалов. Пусть

   $x=\sqrt[3]{a},\qquad y=\sqrt[3]{b},$

   тогда $\sqrt[3]{a/b}=x/y$, а $\sqrt[3]{b/a}=y/x$. Выражение становится рациональным относительно $x$ и $y$:

   $\frac{x+y}{2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}.$

   Такая подстановка и есть суть задачи: кубические корни, которые кажутся несвязанными, на самом деле — просто $x$ и $y$.

2. 2

   Приведём знаменатель к общему знаменателю $xy$.

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{2xy+x^{2}+y^{2}}{xy}.$

3. 3

   Заметим, что числитель этой дроби — это полный квадрат. Так как $x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$,

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{(x+y)^{2}}{xy}.$

   Тот же самый множитель $x+y$, который стоит в числителе исходного выражения, теперь появляется в квадрате в знаменателе — именно это и позволяет выполнить сокращение.

4. 4

   Выполним деление, перевернув дробь.

   $\frac{x+y}{\dfrac{(x+y)^{2}}{xy}}=(x+y)\cdot\frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{xy}{x+y}.$

5. 5

   Вернёмся к исходным переменным и проверим результат. Так как $xy=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$, а $x+y=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$,

   $\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}},$

   что верно при $a\ne0$, $b\ne0$ и $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\ne0$. Проверим на примере: $a=8$, $b=27$, тогда $x=2$, $y=3$, исходный знаменатель $2+\tfrac23+\tfrac32=\tfrac{25}{6}$, числитель $5$, получаем $6/5$; по формуле $xy/(x+y)=6/5$ — совпадает.