Если 2x^(2a − b − 1) − 3y^(3a + 2b − 16) = 10 — линейное уравнение с двумя переменными, найти a и b.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём слова «линейное с двумя переменными» в условия на показатели. По определению в таком уравнении и $x$, и $y$ входят в первой степени с ненулевыми коэффициентами. Коэффициенты $2$ и $-3$ уже ненулевые, поэтому остаётся единственное требование

   $2a-b-1=1\qquad\text{и}\qquad 3a+2b-16=1$

2. 2

   Приведём оба условия к системе.

   $\begin{cases}2a-b=2\\3a+2b=17\end{cases}$

3. 3

   Решим методом подстановки. Из первого уравнения $b=2a-2$. Подставим во второе:

   $3a+2(2a-2)=17\quad\Longrightarrow\quad 3a+4a-4=17\quad\Longrightarrow\quad 7a=21\quad\Longrightarrow\quad a=3$

4. 4

   Вернёмся к b.

   $b=2(3)-2=4$

   $\boxed{a=3,\ b=4}$

5. 5

   Проверим, что оба показателя действительно стали единицами. $2a-b-1=6-4-1=1$ ✓ и $3a+2b-16=9+8-16=1$ ✓, так что уравнение превращается в $2x-3y=10$ — явно линейное. Проверять нужно оба показателя, а не один: пара, удовлетворяющая только одному условию, оставила бы лишний квадрат или куб.