Решите x/(x + 100) − (x + 25)/(x + 125) = 0,1.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим область определения и запишем $0.1$ в виде дроби. Знаменатели обращаются в ноль при $x=-100$ и $x=-125$, поэтому эти значения сразу исключаются. Также запишем $0.1=\dfrac{1}{10}$, чтобы все вычисления были с точными дробями.

2. 2

   Приведём левую часть к общему знаменателю $(x+100)(x+125)$.

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}$

   Раскроем скобки в числителе:

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500$

3. 3

   Проследим, как числитель сводится к константе. Квадратные и линейные члены полностью сокращаются:

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500$

   Таким образом, уравнение принимает вид

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}$

   Это суть задачи: левая часть всегда отрицательна при $(x+100)(x+125)>0$, поэтому единственная возможность получить положительное $\tfrac{1}{10}$ — на интервале $-125<x<-100$.

4. 4

   Выполним перекрёстное умножение и раскроем скобки.

   $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$

   $\Longrightarrow\ x^{2}+225x+37500=0$

5. 5

   Вычислим дискриминант. При $a=1$, $b=225$, $c=37500$:

   $b^{2}-4ac=50625-150000=-99375<0$

   Отрицательный дискриминант означает отсутствие действительных корней, то есть исходное уравнение не имеет действительных решений. (Это согласуется с шагом 3: на $-125<x<-100$ произведение $(x+100)(x+125)$ по модулю слишком мало, чтобы получить $-25000$.)

6. 6

   Если нужны комплексные корни, их можно записать так. Так как $99375=625\cdot 159$, $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$, поэтому

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}=-112.5\pm 157.619i$

   Подстановка любого из этих значений в исходное выражение даёт $0.1$ с машинной точностью.