Решить уравнение 4ˣ = 80 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверяем, не является ли $80$ степенью числа $4$. Степени такие: $4^1=4$, $4^2=16$, $4^3=64$, $4^4=256$. Так как $64<80<256$, показатель не целый и лежит строго между $3$ и $4$ — эту вилку полезно отметить сразу, она пригодится для проверки ответа.

2. 2

   Логарифмируем обе части. Основание можно взять любое; логарифм превращает показатель в множитель:

   $\ln\left(4^x\right)=\ln 80\quad\Longrightarrow\quad x\ln 4=\ln 80$

3. 3

   Выражаем $x$ и записываем точную форму ответа.

   $x=\frac{\ln 80}{\ln 4}=\log_4 80$

   Это формула перехода к новому основанию, прочитанная в обратную сторону: $\log_b a=\tfrac{\ln a}{\ln b}$.

4. 4

   Считаем численно. При $\ln 80\approx 4.3820266$ и $\ln 4\approx 1.3862944$:

   $x\approx\frac{4.3820266}{1.3862944}\approx 3.16096$

5. 5

   Сверяем с вилкой и проверяем подстановкой. Значение $3.161$ действительно лежит между $3$ и $4$ $\checkmark$, и $4^{3.16096}\approx 80.000$ $\checkmark$. Есть и другая точная форма записи: так как $80=16\times 5$ и $16=4^2$, получаем $x=2+\log_4 5$, где $\log_4 5\approx 1.16096$ $\checkmark$.