Найдите область определения функции f(x) = x² - 2x + 9 и запишите ответ в виде интервала.

Step-by-step solution

1. 1

   Выясним, какие ограничения могут возникнуть. Поиск области определения — это проверка на наличие недопустимых действий. В школьной алгебре их всего три: деление на ноль, извлечение чётного корня из отрицательного числа и логарифмирование неположительного числа.

2. 2

   Проверим, есть ли такие действия в данной функции. $f(x)=x^2-2x+9$ — это многочлен: он составлен из $x$ с помощью операций умножения и сложения. Здесь нет ни знаменателя, ни корня, ни логарифма, значит, ни одно из трёх запрещённых действий не встречается.

3. 3

   Делаем вывод для всех действительных x. Подставляя любое действительное $x$, получаем действительное значение — например, $f(0)=9$, $f(-100)=10209$, $f(3.5)=14.25$. Следовательно,

   $\text{область определения}(f)=(-\infty,\infty).$

4. 4

   Не путаем с областью значений. Преобразуем выражение, выделяя полный квадрат:

   $f(x)=(x-1)^{2}+8,$

   то есть значения функции не бывают меньше $8$; или, иначе, дискриминант $(-2)^2-4(1)(9)=-32$ отрицателен, значит, у $f$ нет действительных корней. Это ограничивает область значений до $[8,\infty)$, но не влияет на допустимые значения $x$.

5. 5

   Формулируем общий вывод. Область определения любого многочлена, независимо от степени, — это $(-\infty,\infty)$. Интересные ограничения появляются только при наличии дробей, чётных корней или логарифмов.