Разложите x³ + 4x² – 5 на множители по рациональным, затем по вещественным числам.

Step-by-step solution

1. 1

   Поиск рационального корня. Свободный член равен $-5$, а старший коэффициент — $1$, поэтому возможные рациональные корни: $\pm 1,\pm 5$. Подставим $x=1$:

   $1+4-5=0$

   значит, $(x-1)$ — множитель данного многочлена.

2. 2

   Выполним деление на $(x-1)$. Запишем кубический многочлен с отсутствующим линейным членом как $x^3+4x^2+0x-5$ и разделим:

   $x^3+4x^2-5=(x-1)\left(x^2+5x+5\right)$

3. 3

   Проверим квадратный множитель на рациональные корни. Его дискриминант:

   $D=5^2-4(1)(5)=25-20=5$

   $5$ — положительное, но не является точным квадратом, поэтому $x^2+5x+5$ неразложим по рациональным числам, но имеет два вещественных корня. Это и есть граница между двумя ответами.

4. 4

   Разложение по вещественным числам. Корни равны $\tfrac{-5\pm\sqrt5}{2}$, значит

   $x^2+5x+5=\left(x+\frac{5+\sqrt5}{2}\right)\left(x+\frac{5-\sqrt5}{2}\right)$

5. 5

   Проверка обоих разложений. Раскрывая скобки в $(x-1)(x^2+5x+5)$, получаем $x^3+5x^2+5x-x^2-5x-5=x^3+4x^2-5$ $\checkmark$. Для вещественного разложения сумма констант — $5$, произведение — $\tfrac{25-5}{4}=5$, что совпадает с коэффициентами $x^2+5x+5$ $\checkmark$.