Решить уравнение x⁴ + x³ + x² + x = 4.553.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разложим на множители, чтобы посчитать число действительных корней. Так как

   $g(x)=x^4+x^3+x^2+x=x(x+1)(x^2+1)$

   и $x^2+1>0$, функция отрицательна лишь на $(-1,0)$ и по обе стороны растёт как $x^4$. Поэтому горизонтальная прямая на высоте $4.553>0$ пересекает график ровно дважды: один раз на правой ветви и один раз на левой. Понимание этого заранее не даёт остановиться после первого корня.

2. 2

   Локализуем положительный корень. $g(1)=1+1+1+1=4$ — ниже цели, а $g(1.1)=1.4641+1.331+1.21+1.1=5.1051$ — выше. Значит, корень лежит в $(1,1.1)$.

3. 3

   Уточним его. Половинное деление (или один шаг метода Ньютона от $1.05$) даёт

   $x_1=1.0524735$

   Проверка: $g(1.0524735)=4.55300$. Часто приводимое значение $1.054381$ даёт $g=4.5742$, что больше нужного на $0.021$: производная здесь около $11$, поэтому погрешность $0.002$ в $x$ проявляется отчётливо.

4. 4

   Локализуем отрицательный корень. $g(-1.69)=4.4966$ и $g(-1.70)=4.6291$ — значение $4.553$ лежит между ними. Значит, второй корень находится в $(-1.70,-1.69)$.

5. 5

   Уточним его.

   $x_2=-1.6942810,\qquad g(x_2)=4.55300$

   Встречающееся значение $-1.853257$ лежит далеко за пределами этой вилки — действительно, $g(-1.853257)=7.0124$, что совсем не близко к $4.553$.

6. 6

   Запишем ответ. Действительные решения:

   $x\approx 1.0524735\quad\text{и}\quad x\approx -1.6942810$

   а два оставшихся корня образуют комплексно-сопряжённую пару, поскольку у уравнения четвёртой степени всего четыре корня.