Решите неравенство (|x − 2| − x) / (x² − 4) ≤ 0 и запишите ответ в виде промежутков.

Step-by-step solution

1. 1

   Исключаем точки, где выражение не определено. Дробь определена только тогда, когда её знаменатель отличен от нуля. Здесь $x^2-4=(x-2)(x+2)$, поэтому

   $x\ne 2\quad\text{и}\quad x\ne -2.$

   Эти две точки не могут попасть в множество решений, что бы ни происходило с числителем: знак $\le$ не спасает нулевой знаменатель.

2. 2

   Раскрываем модуль в точке смены знака. Выражение $|x-2|$ меняет формулу при $x=2$: оно равно $x-2$ при $x\ge 2$ и $2-x$ при $x<2$. Поскольку по разные стороны от этой точки неравенство ведёт себя по-разному, решаем его отдельно на каждой части, а затем берём объединение. Делаем это алгебраически, а не подстановкой пробных чисел, — так между контрольными точками ничего не потеряется.

3. 3

   Случай 1: $x>2$. Здесь $|x-2|=x-2$, поэтому числитель превращается в константу:

   $\frac{(x-2)-x}{x^2-4}=\frac{-2}{x^2-4}.$

   При $x>2$ знаменатель $x^2-4$ положителен, значит, дробь отрицательна при каждом таком $x$. Весь луч $(2,+\infty)$ удовлетворяет неравенству (сама точка $x=2$ исключена на первом шаге).

4. 4

   Случай 2: $x<2$. Здесь $|x-2|=2-x$, поэтому числитель равен $2-2x=2(1-x)$ и

   $\frac{2(1-x)}{(x-2)(x+2)}\le 0.$

   Числитель обращается в нуль при $x=1$ и положителен при $x<1$; множитель $x-2$ отрицателен на всём этом случае; множитель $x+2$ меняет знак при $x=-2$.

5. 5

   Строим таблицу знаков для случая 2. Разбиваем прямую критическими значениями $-2$ и $1$:

   промежуток	$2(1-x)$	$x-2$	$x+2$	дробь
   $x<-2$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $-2<x<1$	$+$	$-$	$+$	$-$
   $1<x<2$	$-$	$-$	$+$	$+$

   Отрицательной дробь оказывается только при $-2<x<1$. В точке $x=1$ числитель равен $0$, а знаменатель равен $-3\ne 0$, поэтому дробь равна $0$ — а $0\le 0$ верно, значит, $x=1$ включаем в ответ.

6. 6

   Объединяем оба случая. Соединяя промежуток $(-2,1]$ из случая 2 с лучом $(2,+\infty)$ из случая 1, получаем:

   $(-2,\,1]\ \cup\ (2,\,+\infty).$

   Выборочная проверка это подтверждает: при $x=0$ значение равно $-0.5$ (верно), при $x=1.5$ оно равно $+0.571$ (неверно), при $x=3$ равно $-0.4$ (верно), а при $x=-2.5$ равно $+3.11$ (неверно).