Представьте (2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 в виде полного квадрата.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала ищем знакомую структуру, не раскрывая скобки. В выражении три слагаемых: нечто в квадрате, удвоенное то же самое, и $1$. Это ровно структура полного квадрата:

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$

   Распознав её, можно не раскрывать скобки до $4x^2 + 8x + 4$ и не собирать полный квадрат заново.

2. 2

   Обозначим повторяющийся фрагмент. Пусть

   $A = 2x + 1$

   Тогда исходное выражение буквально совпадает с $A^2 + 2A + 1$. Для применения тождества важно, чтобы средний член был именно $2A$ (а не $2$ на что-то другое) — здесь $2(2x+1) = 2A$, всё подходит.

3. 3

   Применяем тождество и возвращаемся к переменной x.

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2 = \bigl((2x+1) + 1\bigr)^2 = (2x+2)^2$

4. 4

   Выносим общий множитель из скобки. Оба слагаемых внутри скобки делятся на $2$:

   $(2x+2)^2 = \bigl(2(x+1)\bigr)^2 = 4(x+1)^2$

   Форма $4(x+1)^2$ обычно считается окончательной, так как скобка максимально упрощена.

5. 5

   Проверяем раскрытием скобок. Исходное выражение раскрывается так:

   $(4x^2 + 4x + 1) + (4x + 2) + 1 = 4x^2 + 8x + 4$

   Ответ даёт $4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4$. Совпадает. Для проверки можно подставить $x = 3$: $49 + 14 + 1 = 64 = 4(4)^2$.