Множество решений неравенства a(x - 4)² + b < 10 имеет вид k - 8 < x < 2k + 1. Найдите k.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим ось симметрии. Выражение $a(x-4)^2+b$ записано в виде с вершиной: график — парабола с вершиной в точке $x=4$, симметричная относительно вертикальной прямой $x=4$. Значения $a$ и $b$ не влияют на положение этой оси.

2. 2

   Покажем, что интервал должен быть симметричен относительно оси. Множество решений ограничено (это именно интервал, а не объединение лучей), значит $a>0$ — парабола ветвями вверх пересекает прямую $y=10$ на одном интервале. Границы этого интервала определяются из $a(x-4)^2+b=10$, то есть $(x-4)^2=\frac{10-b}{a}$, а значит, $x=4\pm\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$: обе точки равноудалены от 4. Следовательно, середина интервала решений совпадает с $x=4$.

3. 3

   Приравняем середину данного интервала к 4.

   $\frac{(k-8)+(2k+1)}{2}=4\quad\Rightarrow\quad \frac{3k-7}{2}=4\quad\Rightarrow\quad 3k-7=8$

4. 4

   Решим уравнение относительно $k$.

   $3k=15\quad\Rightarrow\quad k=5$

5. 5

   Проверим границы интервала и его ненулевую длину. При $k=5$ получаем границы: $k-8=-3$ и $2k+1=11$, то есть множество решений $-3<x<11$; его середина $\frac{-3+11}{2}=4$ — совпадает с осью симметрии. Интервал действительно существует ($-3<11$), как и должно быть для множества решений.

6. 6

   Уточним, что именно определено условиями задачи. Полуширина интервала $11-4=7$, значит $49a+b=10$, то есть $b=10-49a$. Любые $a>0$ и соответствующее $b$ дают тот же интервал — таким образом, $k=5$ определяется однозначно, хотя $a$ и $b$ не фиксируются.