Упростите выражение 5√9 − √(−64). Ответ запишите в виде комплексного числа.

Step-by-step solution

1. 1

   Отделим обычный корень от мнимого. $\sqrt{9}$ — это стандартный действительный квадратный корень, а $\sqrt{-64}$ содержит подкоренное выражение меньше нуля и не имеет действительного значения. Именно попытка рассматривать оба корня одинаково часто приводит к ошибке, поэтому каждую часть рассматриваем отдельно.

2. 2

   Вычислим действительную часть. Главный квадратный корень из $9$ равен $3$ (не $\pm 3$, так как знак радикала означает неотрицательный корень), поэтому

   $5\sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15$

3. 3

   Преобразуем отрицательный корень с помощью $i$. Вынесем $-1$ по формуле $\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$ при $a>0$:

   $\sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = \sqrt{64}\,\sqrt{-1} = 8i$

   Запись $\sqrt{-64} = -8$ — типичная ошибка: $(-8)^2 = +64$, а не $-64$.

4. 4

   Выполним вычитание, не смешивая действительные и мнимые части. Действительные складываются только с действительными, мнимые — с мнимыми; $15$ и $8i$ — разные типы, поэтому ничего не объединяется:

   $15 - 8i$

5. 5

   Проверим ответ. В виде $a + bi$ имеем $a = 15$, $b = -8$. Проверим мнимую часть: $(8i)^2 = 64i^2 = -64$, что подтверждает $\sqrt{-64} = 8i$. Окончательный ответ — $15 - 8i$. Часто встречающаяся ошибка — записать $15 - 8$, что даёт просто $7$ (действительное число).