Упростить выражение (x + 1)³ − 2(x + 1)²(x − 1) − (x + 1)(x − 1)² + 2(x − 1)³.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что короткого пути через общий множитель здесь нет. В отличие от варианта, который заканчивается на $2(x+1)^3$, здесь последнее слагаемое равно $2(x-1)^3$, поэтому $(x+1)$ уже не является множителем всех слагаемых. Надёжный путь — раскрыть все четыре произведения и привести подобные.

2. 2

   Раскрываем каждое произведение.

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $-2(x+1)^2(x-1)=-2\left(x^2+2x+1\right)(x-1)=-2\left(x^3+x^2-x-1\right)=-2x^3-2x^2+2x+2$

   $-(x+1)(x-1)^2=-\left(x^2-1\right)(x-1)=-\left(x^3-x^2-x+1\right)=-x^3+x^2+x-1$

   $2(x-1)^3=2\left(x^3-3x^2+3x-1\right)=2x^3-6x^2+6x-2$

3. 3

   Складываем коэффициенты при кубе.

   $1-2-1+2=0$

   Значит, слагаемые с $x^3$ исчезают и результат оказывается не выше второй степени — тот же структурный сюрприз, что и в родственной задаче, но полученный другим путём.

4. 4

   Складываем остальные коэффициенты. При $x^2$: $3-2+1-6=-4$. При $x$: $3+2+1+6=12$. Свободные члены: $1+2-1-2=0$. Отсюда

   $-4x^2+12x$

5. 5

   Раскладываем на множители и проверяем.

   $-4x^2+12x=4x(3-x)=-4x(x-3)$

   При $x=1$ исходное выражение равно $8-2(4)(0)-2(0)+0=8$, а $4(1)(2)=8\;\checkmark$. При $x=3$: $64-2(16)(2)-4(4)+2(8)=64-64-16+16=0$, и $4(3)(0)=0\;\checkmark$ — разложение правильно предсказывает корни $x=0$ и $x=3$.