Решите уравнение x² − x − 42 = 0 разложением на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Формулируем, что именно ищем. Для приведённого квадратного трёхчлена $x^2+bx+c$ нужны два числа, произведение которых равно $c$, а сумма равна $b$. Здесь

   $\text{произведение}=-42,\qquad \text{сумма}=-1$

2. 2

   Сужаем перебор с помощью знаков. Отрицательное произведение означает, что числа разных знаков; сумма $-1$, малая по сравнению с $42$, означает, что по модулю они близки, причём отрицательное чуть больше. Пары делителей числа $42$ — это $1\cdot 42$, $2\cdot 21$, $3\cdot 14$, $6\cdot 7$, и только $6$ и $7$ отличаются на $1$.

3. 3

   Расставляем знаки и записываем множители. Пара $-7$ и $+6$ даёт произведение $-42$ и сумму $-1$ $\checkmark$:

   $x^2-x-42=(x-7)(x+6)$

4. 4

   Решаем по свойству «произведение равно нулю».

   $(x-7)(x+6)=0\ \Longrightarrow\ x=7\ \text{или}\ x=-6$

5. 5

   Проверяем оба корня в исходном уравнении.

   $7^2-7-42=49-49=0\quad\checkmark$

   $(-6)^2-(-6)-42=36+6-42=0\quad\checkmark$