Решите неравенство 55(x² - 25) > 35(24² - 25). Дайте точные границы и их десятичные значения.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вычислим правую часть. В правой части нет неизвестных, поэтому её удобно сразу свести к одному числу:

   $24^{2}=576,\qquad 576-25=551,\qquad 35\times551=19285.$

   Неравенство принимает вид $55\left(x^{2}-25\right)>19285$. Такой порядок действий позволяет далее выполнить только одно деление, а не несколько.

2. 2

   Делим обе части на положительный коэффициент. Так как $55>0$, знак неравенства сохраняется:

   $x^{2}-25>\frac{19285}{55}=\frac{3857}{11}.$

   Дробь сокращается на $5$ ($19285=5\times3857$, $55=5\times11$) и далее не сокращается, так как $3857=7\times19\times29$ не имеет общих делителей с $11$. Сохраняем точное значение для дальнейших вычислений.

3. 3

   Выразим $x^{2}$. Прибавим $25=\tfrac{275}{11}$ к обеим частям:

   $x^{2}>\frac{3857}{11}+\frac{275}{11}=\frac{4132}{11}\approx375.636.$

4. 4

   Решим неравенство с квадратом. Для положительной константы $c$ неравенство $x^{2}>c$ выполняется вне промежутка $\left[-\sqrt c,\sqrt c\right]$:

   $x<-\sqrt{\frac{4132}{11}}\quad\text{или}\quad x>\sqrt{\frac{4132}{11}}.$

   Запись только $x>\sqrt c$ приводит к потере всей отрицательной ветви — это самая частая ошибка при решении подобных неравенств.

5. 5

   Упростим иррациональность и проверим. Так как $4132=4\times1033$, рационализируем знаменатель:

   $\sqrt{\frac{4132}{11}}=\frac{2\sqrt{1033}}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{11363}}{11}\approx19.3813.$

   Проверка: при $x=19.5$, $55(380.25-25)=19538.75>19285$ — подходит; при $x=19.3$, $55(372.49-25)=19111.95$, не подходит. По симметрии $x=-19.5$ подходит, $x=-19.3$ — нет.