Решите неравенство (14^x - 7^(x+1) - 2^(x+1) + 14)/(-x² + 4x) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем каждое показательное выражение к основаниям $2$ и $7$. Так как $14=2\cdot 7$, получаем $14^x=2^x7^x$; также $7^{x+1}=7\cdot 7^x$, $2^{x+1}=2\cdot 2^x$. Тогда числитель принимает вид $2^x7^x-7\cdot 7^x-2\cdot 2^x+14$.

2. 2

   Группируем четыре слагаемых и выносим общий множитель. Получаем: $7^x(2^x-7)-2(2^x-7)=(7^x-2)(2^x-7)$. Нули числителя: $7^x=2 \Rightarrow x=\log_7 2 \approx 0.356$ и $2^x=7 \Rightarrow x=\log_2 7 \approx 2.807$.

3. 3

   Разложим знаменатель на множители. $-x^2+4x=x(4-x)$, нули — $x=0$ и $x=4$; эти точки исключаются из области определения. Располагаем все четыре критические точки по возрастанию: $0<\log_7 2<\log_2 7<4$.

4. 4

   Определим знак числителя. $(7^x-2)$ отрицательно при $x<\log_7 2$ и положительно при больших $x$; $(2^x-7)$ отрицательно при $x<\log_2 7$ и положительно после. Значит, произведение положительно на $(-\infty,\log_7 2)$, отрицательно на $(\log_7 2,\log_2 7)$ и снова положительно на $(\log_2 7,\infty)$.

5. 5

   Определим знак знаменателя. $x(4-x)$ — ветвь параболы вниз с корнями $0$ и $4$: вне отрезка $[0,4]$ выражение отрицательно, строго между ними — положительно.

6. 6

   Объединяем и выбираем промежутки, где дробь неотрицательна. $(-\infty,0)$: $+/-=-$. $(0,\log_7 2)$: $+/+=+$. $(\log_7 2,\log_2 7)$: $-/+=-$. $(\log_2 7,4)$: $+/+=+$. $(4,\infty)$: $+/-=-$. Нули числителя включаются, так как неравенство нестрогое и знаменатель там не обращается в ноль.

7. 7

   Проверим по одному значению из каждого подходящего промежутка. При $x=0.2$ числитель $14^{0.2}-7^{1.2}-2^{1.2}+14\approx 3.067$, знаменатель $0.76$, отношение $4.04>0$. При $x=3$ числитель $2744-2401-16+14=341$, знаменатель $-9+12=3$, $\tfrac{341}{3}\approx 113.7>0$.