Решите уравнение с модулем |4x + 3| = 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Убедитесь, что корней будет два. Правая часть $2$ положительна, поэтому выражение под модулем может быть равно как $+2$, так и $-2$. Положительная правая часть всегда даёт два решения; ноль даёт одно, а отрицательное число — ни одного.

2. 2

   Выпишите два случая. Из $|A|=2$ следует $A=2$ или $A=-2$, где $A=4x+3$:

   $4x+3=2\qquad\text{или}\qquad 4x+3=-2$

3. 3

   Решите первый случай. Вычтите $3$, затем разделите на $4$:

   $4x=-1\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{1}{4}$

4. 4

   Решите второй случай. На этот раз вычитайте $3$ из $-2$:

   $4x=-5\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{5}{4}$

5. 5

   Проверьте оба корня. Подстановка каждого значения возвращает $2$:

   $\left|4\left(-\tfrac14\right)+3\right|=|-1+3|=2\qquad\checkmark$
   $\left|4\left(-\tfrac54\right)+3\right|=|-5+3|=|-2|=2\qquad\checkmark$

   Заметьте, что корни лежат симметрично относительно $x=-\tfrac34$ — значения, обращающего подмодульное выражение в ноль; эта симметрия служит удобной проверкой для любого уравнения такого вида.