Решите уравнение четвёртой степени 2x^4 - 9x^3 + 3x^2 + 11x - 3 = 0 и найдите все четыре корня.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем кандидатов в рациональные корни. По теореме о рациональных корнях у любого рационального корня $p/q$ числитель $p$ делит свободный член $-3$, а знаменатель $q$ делит старший коэффициент $2$. Получаем

   $\pm 1,\quad \pm 3,\quad \pm\tfrac12,\quad \pm\tfrac32$

   Восемь чисел на проверку — куда лучше, чем гадать наугад.

2. 2

   Проверяем их и находим первый корень. Обозначим $f(x)=2x^4-9x^3+3x^2+11x-3$:

   $f(1)=2-9+3+11-3=4,\qquad f(3)=162-243+27+33-3=-24$
   $f(-1)=2+9+3-11-3=0$

   Значит, $x=-1$ — корень, а $(x+1)$ — множитель. Заметим, что $x=3$ корнем не является, хотя коэффициенты и подталкивают к такой догадке: всегда вычисляйте значение, а не полагайтесь на предположение.

3. 3

   Делим на $(x+1)$ по схеме Горнера. Сносим коэффициенты $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$ и работаем с числом $-1$:

   $2 \quad -11 \quad 14 \quad -3 \quad | \ 0$

   поэтому

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)\left(2x^3-11x^2+14x-3\right)$

   Нулевой остаток подтверждает правильность деления; задача об уравнении четвёртой степени свелась к кубическому.

4. 4

   Ищем корень кубического многочлена в том же списке кандидатов. Для $g(x)=2x^3-11x^2+14x-3$:

   $g(1)=2,\qquad g(3)=-6,\qquad g\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac32,\qquad g\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{27}{4}-\tfrac{99}{4}+21-3=0$

   Значит, $x=\tfrac32$ — корень, дающий множитель $(2x-3)$. Деление даёт

   $2x^3-11x^2+14x-3=(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

5. 5

   Решаем оставшееся квадратное уравнение. У последнего множителя рациональных корней нет, поэтому применяем формулу корней к $x^2-4x+1=0$:

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$

6. 6

   Собираем разложение и проверяем его. Итого

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

   Раскрытие правой части воспроизводит исходные коэффициенты $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$. Вторая проверка — по теореме Виета: сумма четырёх корней равна $-1+\tfrac32+(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)=\tfrac92$, что совпадает с $-\frac{-9}{2}$, а их произведение равно $-1\cdot\tfrac32\cdot(4-3)=-\tfrac32$, что совпадает с $\frac{-3}{2}$.