Найти N, если N − (30u²v − 15uv² + v³) = 12u²v + 2v³ − 10uv².

Step-by-step solution

1. 1

   Изолируем $N$, прибавив вычитаемый многочлен к обеим частям уравнения. Весь трёхчлен рассматривается как единое целое, не раскрывая скобки сразу:

   $N=\left(12u^2v+2v^3-10uv^2\right)+\left(30u^2v-15uv^2+v^3\right)$

   Такой способ надёжнее, чем переносить отдельные слагаемые, поскольку знак минус перед скобкой уже учтён при сложении.

2. 2

   Запишем оба многочлена, группируя по типу слагаемых. Расположим их в порядке $u^2v$, $uv^2$, $v^3$:

   $12u^2v-10uv^2+2v^3\qquad\text{и}\qquad 30u^2v-15uv^2+v^3$

   Важно: $u^2v$ и $uv^2$ — разные типы слагаемых (различается, какая переменная возводится в квадрат), их нельзя складывать между собой.

3. 3

   Складываем коэффициенты у каждого типа слагаемых.

   $u^2v:\;12+30=42,\qquad uv^2:\;-10+(-15)=-25,\qquad v^3:\;2+1=3$

4. 4

   Записываем ответ.

   $N=42u^2v-25uv^2+3v^3$

5. 5

   Проверяем подстановкой в исходное уравнение. Подставим $u=1$, $v=2$: тогда $N=42(2)-25(4)+3(8)=84-100+24=8$. Вычитаемый трёхчлен: $30(2)-15(4)+8=60-60+8=8$. Левая часть: $8-8=0$. Правая часть: $12(2)+2(8)-10(4)=24+16-40=0\;\checkmark$. Для $u=2$, $v=1$ получаем $N=168-50+3=121$, вычитаемый трёхчлен $120-30+1=91$, левая часть $30$; правая часть $48+2-20=30\;\checkmark$.