Упростите выражение (x⁵ y⁶ z³ / x⁻⁵ y⁻⁶ z⁻³)⁻². Переменные — ненулевые действительные числа.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала упростим выражение в скобках, прежде чем возводить в степень. Здесь одновременно действуют два правила работы со степенями, и порядок важен для правильных знаков. Сначала приведём дробь к одному одночлену, потом разберёмся с показателем $-2$. Для дроби используется правило деления степеней:

   $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$

2. 2

   Вычтем показатели по каждой переменной, внимательно относясь к двойным минусам. В знаменателе все показатели отрицательны, поэтому при вычитании они складываются:

   $\frac{x^{5}}{x^{-5}}=x^{5-(-5)}=x^{10},\qquad \frac{y^{6}}{y^{-6}}=y^{6-(-6)}=y^{12},\qquad \frac{z^{3}}{z^{-3}}=z^{3-(-3)}=z^{6}$

   Получаем выражение

   $\left(x^{10}y^{12}z^{6}\right)^{-2}$

3. 3

   Вынесем внешний показатель с помощью правила возведения степени в степень. По формуле $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$, а произведение в степени означает, что каждая степень перемножается на $-2$:

   $x^{10(-2)}y^{12(-2)}z^{6(-2)}=x^{-20}y^{-24}z^{-12}$

4. 4

   Перепишем с положительными показателями, используя определение отрицательной степени. Отрицательная степень означает обратную величину: $a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}}$, поэтому все множители переходят в знаменатель:

   $x^{-20}y^{-24}z^{-12}=\frac{1}{x^{20}y^{24}z^{12}}$

   Именно поэтому в условии оговаривается, что переменные не равны нулю — иначе обратная величина не определена.

5. 5

   Проверим численно. Подставим $x=1.3$, $y=0.7$, $z=2.1$ в исходное выражение — получится $0.0037337776928081$. В упрощённом виде $1/(x^{20}y^{24}z^{12})$ даёт то же значение $0.0037337776928081$. Совпадение до полной точности double подтверждает правильность преобразований со степенями.