Решите неравенство 5a² + 4a − 12 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим корни соответствующего уравнения. Решаем $5a^2+4a-12=0$ по формуле корней с коэффициентами $5$, $4$, $-12$:

   $\Delta=4^2-4(5)(-12)=16+240=256$

2. 2

   Пользуемся тем, что дискриминант — полный квадрат. Так как $\sqrt{256}=16$, корни рациональны:

   $a=\frac{-4\pm 16}{10}\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\ \text{или}\ a=\frac{-20}{10}=-2$

   Равносильно: $5a^2+4a-12=(5a-6)(a+2)$.

3. 3

   Учитываем направление ветвей. Старший коэффициент $5$ положителен, поэтому парабола направлена ветвями вверх, а выражение положительно вне корней и отрицательно между ними.

4. 4

   Упорядочиваем корни и записываем ответ. Так как $-2<\tfrac65$:

   $a<-2\quad\text{или}\quad a>\frac{6}{5},\qquad\text{т. е. }(-\infty,-2)\cup\left(\tfrac65,\infty\right)$

5. 5

   Проверяем по одному значению из каждого промежутка. При $a=-3$: $45-12-12=21>0$ $\checkmark$. При $a=0$: $-12>0$ — неверно $\checkmark$. При $a=2$: $20+8-12=16>0$ $\checkmark$. При $a=\tfrac65$: $5\cdot\tfrac{36}{25}+\tfrac{24}{5}-12=\tfrac{36}{5}+\tfrac{24}{5}-12=0$, и строгое неравенство эту точку справедливо исключает.