Решите систему x + y = z, 9.5 − 25.33333x − 55z = 0 и 3.5 − 3y − 55z = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Приводим два последних уравнения к стандартному виду. Перенесём свободные члены вправо:

   $25.33333x + 55z = 9.5, \qquad 3y + 55z = 3.5$

   Теперь неизвестные слева в обоих уравнениях, и вести учёт при исключении переменных гораздо надёжнее, чем работать с исходной записью со смешанными знаками.

2. 2

   Исключаем z с помощью первого уравнения. Подставим $z = x + y$ в каждое:

   $25.33333x + 55(x+y) = 9.5 \ \Longrightarrow \ 80.33333x + 55y = 9.5$

   $3y + 55(x+y) = 3.5 \ \Longrightarrow \ 55x + 58y = 3.5$

   Именно использование $z = x + y$ как подстановки, а не как третьей строки, сохраняет задачу размера $2\times 2$.

3. 3

   Решаем систему 2×2. Из второго уравнения $x = \dfrac{3.5 - 58y}{55}$. Подставим в первое и умножим всё на $55$:

   $80.33333(3.5 - 58y) + 3025y = 522.5$

   $281.16666 - 4659.3331y + 3025y = 522.5 \ \Longrightarrow \ -1634.3331y = 241.33334$

4. 4

   Находим y, затем x, затем z.

   $y = \frac{241.33334}{-1634.3331} \approx -0.147665$

   $55x = 3.5 - 58(-0.147665) = 12.06457 \ \Longrightarrow \ x \approx 0.219356$

   $z = x + y \approx 0.219356 - 0.147665 = 0.071691$

   Везде удерживайте шесть значащих цифр: коэффициент $1634.33$ велик, поэтому раннее округление $y$ проявится уже в четвёртой цифре $x$.

5. 5

   Узнаём периодическую дробь и получаем точный ответ. Коэффициент $25.33333$ почти наверняка равен $\tfrac{76}{3} = 25.\overline{3}$. Повторив исключение переменных в точных дробях, получаем

   $x = \frac{2151}{9806}, \qquad y = -\frac{724}{4903}, \qquad z = \frac{703}{9806}$

   что даёт $0.2193555$, $-0.1476647$, $0.0716908$ — совпадение с десятичным решением до шести цифр.

6. 6

   Проверяем все три уравнения. При $x = 0.219356$, $y = -0.147665$, $z = 0.071691$: $x + y = 0.071691 = z \ \checkmark$; $9.5 - 25.33333(0.219356) - 55(0.071691) = 9.5 - 5.5570 - 3.9430 \approx 0 \ \checkmark$; $3.5 - 3(-0.147665) - 55(0.071691) = 3.5 + 0.4430 - 3.9430 \approx 0 \ \checkmark$.