Разложите x⁴ – x² + 1/4 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим $x^2$ как переменную. В выражении присутствуют только чётные степени, и $x^4=\left(x^2\right)^2$, значит, это квадратное выражение относительно $u=x^2$:

   $u^2-u+\frac14$

2. 2

   Проверим, можно ли представить в виде полного квадрата с дробной константой. $\tfrac14=\left(\tfrac12\right)^2$, а средний коэффициент должен равняться $-2ab$:

   $-2\cdot u\cdot\frac12=-u$

   Совпадает. Дробь в свободном члене не мешает — тождество верно над любым полем.

3. 3

   Запишем полный квадрат и вернёмся к исходной переменной.

   $u^2-u+\frac14=\left(u-\frac12\right)^2\quad\Longrightarrow\quad x^4-x^2+\frac14=\left(x^2-\frac12\right)^2$

4. 4

   Рассмотрим возможность дальнейшего разложения. Над вещественными числами можно разложить $x^2-\tfrac12$ как разность квадратов:

   $\left(x-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2\left(x+\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2$

   Но над рациональными числами $\left(x^2-\tfrac12\right)^2$ — максимально возможное разложение, так как $\tfrac12$ не является квадратом рационального числа.

5. 5

   Проверим подстановкой. При $x=2$ исходное выражение даёт $16-4+0.25=12.25$, а $\left(4-0.5\right)^2=3.5^2=12.25$ — совпадает $\checkmark$.