Решите неравенство |2x + 5| < 13.

Step-by-step solution

1. 1

   Читайте $|A|<b$ как утверждение о расстоянии. $|2x+5|$ — расстояние от $2x+5$ до $0$ на числовой прямой. Требование, чтобы оно было меньше $13$, зажимает выражение между $-13$ и $13$; именно поэтому модуль со знаком меньше превращается в одно двойное неравенство, а не в две отдельные ветви:

   $-13<2x+5<13$

2. 2

   Вычтите 5 из всех трёх частей. Прибавление одного и того же числа к каждой части цепочки никогда не меняет направления неравенств:

   $-13-5<2x<13-5\qquad\Longrightarrow\qquad-18<2x<8$

3. 3

   Разделите все три части на 2. Делитель $2$ положителен, поэтому оба знака остаются направленными в ту же сторону — именно на этом шаге отрицательный делитель заставил бы их перевернуться:

   $-9<x<4$

4. 4

   Запишите ответ двумя способами. В виде неравенства $-9<x<4$; в виде промежутка $(-9,4)$. Оба конца исключены, потому что исходное сравнение было строгим.

   При $x=-9$: $|2(-9)+5|=|-13|=13$, что не меньше $13$, — это и подтверждает, что конец открыт.

5. 5

   Проверьте по всей прямой. Прямое сравнение $|2x+5|<13$ с найденным промежутком в $260$ точных рациональных точках от $-15$ до $11$ даёт совпадение всюду ✓. Контрольные точки: $x=0$ даёт $|5|=5<13$ ✓ (внутри), а $x=5$ даёт $|15|=15$ ✗ (снаружи).