Разложите и упростите выражение (x + 7)^{1/3} − (x + 7)^{4/3}.

Step-by-step solution

1. 1

   Выберем общий множитель по наименьшему показателю степени. Оба слагаемых — степени одного и того же основания $x+7$, поэтому наибольший общий множитель — это основание в меньшей степени: $\tfrac13<\tfrac43$. Вынося $(x+7)^{1/3}$ за скобки, получаем выражение с целыми показателями.

2. 2

   Разделим каждое слагаемое на общий множитель. По формуле $\frac{u^{m}}{u^{n}}=u^{m-n}$: первое слагаемое даёт $(x+7)^{1/3-1/3}=1$, второе — $(x+7)^{4/3-1/3}=(x+7)^{1}=x+7$. Таким образом, $(x+7)^{1/3}-(x+7)^{4/3}=(x+7)^{1/3}\bigl[1-(x+7)\bigr].$

3. 3

   Упростим выражение в скобках. $1-(x+7)=1-x-7=-x-6=-(x+6).$

4. 4

   Запишем окончательный результат. Переносим минус вперёд: $(x+7)^{1/3}-(x+7)^{4/3}=-(x+6)(x+7)^{1/3}.$

5. 5

   Проверим на конкретном значении. При $x=1$ исходное выражение: $8^{1/3}-8^{4/3}=2-16=-14$, а в разложенном виде $-(7)\cdot 8^{1/3}=-7\cdot 2=-14$, ответы совпадают.