Решите двойное неравенство 1/6 < (2x - 13)/12 ≤ 2/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассматривается как система двух неравенств, связанных переменной. Неизвестная находится только в средней части, поэтому каждое преобразование выполняется одновременно для всех трёх частей. Это сохраняет эквивалентность цепочки без разделения на отдельные неравенства.

2. 2

   Домножим обе части на 12, чтобы избавиться от знаменателей. Число $12$ — это наименьшее общее кратное для $6$, $12$ и $3$, оно положительно, поэтому знаки неравенств сохраняются: $12\cdot\frac16 < 12\cdot\frac{2x-13}{12} \le 12\cdot\frac23 \Longrightarrow 2 < 2x-13 \le 8.$

3. 3

   Прибавим 13 ко всем частям. $2+13 < 2x \le 8+13 \Longrightarrow 15 < 2x \le 21.$ Прибавление постоянного числа не меняет направление неравенства.

4. 4

   Разделим обе части на 2. Так как $2>0$, знаки не меняются: $\frac{15}{2} < x \le \frac{21}{2}, \qquad\text{т.е.}\qquad 7{,}5 < x \le 10{,}5.$

5. 5

   Следим за типами концов интервала. Левая граница получена из строгого неравенства $<$, поэтому $7{,}5$ не входит; правая — из нестрогого $\le$, поэтому $10{,}5$ входит. В интервальной записи это $\left(\tfrac{15}{2},\tfrac{21}{2}\right]$.

6. 6

   Проверим граничные значения численно. При $x=7{,}5$: $\tfrac{2(7.5)-13}{12} = \tfrac{2}{12} = \tfrac16$ — равенство, значит, точка не входит. При $x=10{,}5$: $\tfrac{2(10.5)-13}{12} = \tfrac{8}{12} = \tfrac23$ — равенство, точка входит. При $x=7{,}4$ среднее значение $0{,}15 < \tfrac16$, вне интервала; при $x=10{,}6$ — $0{,}6833 > \tfrac23$, тоже вне.