Найдите и упростите разностное отношение (f(x + h) − f(x))/h, где h ≠ 0, для функции f(x) = x² − 5x + 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Подставляем $x+h$ во всю формулу, а не только в первое слагаемое. Заменить нужно каждое вхождение $x$ в $f$, включая то, что стоит в $-5x$:

   $f(x+h)=(x+h)^{2}-5(x+h)+2.$

   Раскрывая $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ и умножая скобку на $-5$, получаем:

   $f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2.$

2. 2

   Вычитаем $f(x)$, сохраняя знак минус перед каждым слагаемым. Именно здесь чаще всего допускают знаковые ошибки, поэтому сначала выпишем вторую скобку целиком и только потом раскроем её:

   $f(x+h)-f(x)=\left(x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2\right)-\left(x^{2}-5x+2\right).$

   $=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2-x^{2}+5x-2.$

3. 3

   Смотрим, что сокращается, и понимаем почему. Исчезает каждое слагаемое из $f(x)$, не содержащее $h$: $x^{2}-x^{2}=0$, $-5x+5x=0$, $2-2=0$. Так происходит всегда, и именно это гарантирует, что числитель делится на $h$:

   $f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-5h.$

4. 4

   Выносим $h$ за скобку в числителе и сокращаем. Так как по условию $h\neq 0$, сокращение законно:

   $\frac{2xh+h^{2}-5h}{h}=\frac{h(2x+h-5)}{h}=2x+h-5.$

5. 5

   Истолковываем и проверяем результат. Полученное выражение $2x+h-5$ — это угловой коэффициент секущей, проходящей через точки $(x,f(x))$ и $(x+h,f(x+h))$. При $h\to 0$ оно превращается в $2x-5$, то есть ровно в $f'(x)$, — хорошее подтверждение. Числовая проверка при $x=1.7$, $h=0.03$: $\frac{f(1.73)-f(1.7)}{0.03}=-1.57$, и $2(1.7)+0.03-5=-1.57$.