Разделите x³ на x+1 и запишите ответ как частное плюс остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем делимое, явно указывая все степени переменной. Пропущенные слагаемые заменяются коэффициентом 0, чтобы не нарушить разрядность:

   $x^3+0x^2+0x+0$

2. 2

   Первый шаг деления. $\tfrac{x^3}{x}=x^2$; умножим на делитель и вычтем результат:

   $x^2(x+1)=x^3+x^2\quad\Longrightarrow\quad\left(x^3+0x^2\right)-\left(x^3+x^2\right)=-x^2$

3. 3

   Второй шаг. $\tfrac{-x^2}{x}=-x$; умножим и вычтем:

   $-x(x+1)=-x^2-x\quad\Longrightarrow\quad\left(-x^2+0x\right)-\left(-x^2-x\right)=x$

4. 4

   Третий шаг. $\tfrac{x}{x}=1$; умножим и вычтем:

   $1(x+1)=x+1\quad\Longrightarrow\quad(x+0)-(x+1)=-1$

   Степень $-1$ меньше степени $x+1$, поэтому деление завершено: частное $x^2-x+1$, остаток $-1$.

5. 5

   Запишем окончательный ответ и проверим его по теореме об остатке:

   $\frac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\frac{1}{x+1},\qquad x\neq -1$

   По теореме об остатке, остаток равен $f(-1)=(-1)^3=-1$ $\checkmark$. Эквивалентно: $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$, значит $x^3=(x+1)(x^2-x+1)-1$ $\checkmark$.