Выразите k из равенства 2*pi*R*k*sin(a) − 2*pi*a*k = m*g*tan(a) / (2*pi).

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что $k$ входит в оба слагаемых слева. Раскрывать ничего не нужно — вся задача сводится к вынесению общего множителя. В обоих левых слагаемых он один и тот же: $2\pi k$. $2\pi Rk\sin\alpha-2\pi ak=2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right).$ Именно сбор $k$ в один множитель позволяет выразить его одним делением.

2. 2

   Переписываем равенство с вынесенным $k$. $2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right)=\frac{mg\tan\alpha}{2\pi}$ Теперь всё, что умножается на $k$, собрано в одной скобке, а всё остальное стоит справа.

3. 3

   Делим на весь коэффициент при $k$. Разделив обе части на $2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)$, получаем $k=\frac{\dfrac{mg\tan\alpha}{2\pi}}{2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ Заметим: множитель $2\pi$, уже стоящий в знаменателе справа, с новым не сокращается — второе деление на $2\pi$ перемножает знаменатели.

4. 4

   Упрощаем двухэтажную дробь. Перемножив знаменатели, получаем $k=\frac{mg\tan\alpha}{4\pi^{2}\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ Чаще всего ошибаются именно в $4\pi^{2}$, записывая вместо него $2\pi$ или $2\pi^{2}$.

5. 5

   Указываем ограничение. Деление законно только при $R\sin\alpha-a\neq 0,$ то есть при $\sin\alpha\neq a/R$. Если $R\sin\alpha=a$, левая часть тождественно равна нулю, и уравнение не имеет решений относительно $k$ — кроме случая, когда $mg\tan\alpha$ тоже равно нулю: тогда подходит любое $k$.

6. 6

   Проверяем преобразование на числах. Возьмём $R=2$, $a=0.5$, $\alpha=30^\circ$, $m=1$, $g=9.8$. По формуле $k=\frac{9.8\times 0.577350269}{4\pi^{2}(2\times 0.5-0.5)}=0.286639282.$ Подставим это значение в левую часть исходного равенства: $2\pi(2)(0.286639282)(0.5)-2\pi(0.5)(0.286639282)=0.900503863$, а правая часть равна $\dfrac{9.8\times 0.577350269}{2\pi}=0.900503863$. Значения совпали, значит выкладки верны.