Пусть x и y — положительные числа и x + y = 1. Какие утверждения верны? A: наименьшее значение xy равно 1/4. B: наименьшее значение 1/x + 1/y равно 4. C: наименьшее значение x² + y² равно 1/2. D: наибольшее значение √x + √y равно 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Оставим одну степень свободы. Из $x+y=1$ при положительных $x$ и $y$ положим $x=t$, $y=1-t$, где $0<t<1$. Каждая из рассматриваемых величин становится функцией одного лишь $t$, а из соображений симметрии экстремумы обычно достигаются либо при $t=\tfrac12$, либо в пределах $t\to 0^{+}$ и $t\to 1^{-}$.

2. 2

   A неверно: 1/4 — это максимум произведения xy. По неравенству о среднем $xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}=\dfrac14$, причём равенство достигается при $x=y=\tfrac12$. При $t\to 0^{+}$ имеем $xy=t(1-t)\to 0$, поэтому положительного минимума у $xy$ нет: его точная нижняя грань равна $0$. Неверно.

3. 3

   B верно. Так как $x+y=1$,

   $\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}$

   а из предыдущего шага $xy\le\tfrac14$, поэтому $\dfrac{1}{xy}\ge 4$, и равенство достигается при $x=y=\tfrac12$. Верно.

4. 4

   C верно. Пользуясь тождеством $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=1-2xy$ и оценкой $xy\le\tfrac14$, получаем

   $x^{2}+y^{2}\ge 1-2\left(\frac14\right)=\frac12$

   и равенство снова достигается при $x=y=\tfrac12$. Верно.

5. 5

   D неверно: максимум равен √2, а не 2. Возведём в квадрат:

   $\left(\sqrt x+\sqrt y\right)^{2}=x+y+2\sqrt{xy}=1+2\sqrt{xy}\le 1+2\left(\frac12\right)=2$

   поэтому $\sqrt x+\sqrt y\le\sqrt2\approx 1.414$, и это значение достигается при $x=y=\tfrac12$. Значение $2$ не достигается никогда. Неверно.

6. 6

   Сделаем вывод и проверим на числах.

   $\boxed{\text{B и C}}$

   При $x=y=\tfrac12$: $xy=0.25$, $\tfrac1x+\tfrac1y=4$, $x^{2}+y^{2}=0.5$, $\sqrt x+\sqrt y=1.414$. При $x=0.1$, $y=0.9$: $xy=0.09$, $\tfrac1x+\tfrac1y=11.11>4$, $x^{2}+y^{2}=0.82>0.5$, $\sqrt x+\sqrt y=1.265<1.414$ — все утверждения ведут себя ровно так, как описано выше.