Пусть Z₁ и Z₂ — комплексные числа, такие что сопряжённое Z₁, умноженное на обратное к Z₂, равно 2, а (1 - i)(сопряжённое Z₁ + 3) = 4Z₂. Найдите модуль (Z₂ × Z₁³) / (−Z₂).

Step-by-step solution

1. 1

   Упростим выражение, которое требуется найти. Так как $Z_2\ne 0$ (у него есть обратное), множители $Z_2$ сокращаются: $\frac{Z_2Z_1^{3}}{-Z_2}=-Z_1^{3},\qquad\left|-Z_1^{3}\right|=|-1|\,|Z_1|^{3}=|Z_1|^{3}.$ Таким образом, требуется только модуль $Z_1$, и $Z_2$ в тригонометрической форме находить не нужно.

2. 2

   Используем первое уравнение для выражения $Z_2$. Из $\dfrac{\overline{Z_1}}{Z_2}=2$ получаем $\overline{Z_1}=2Z_2$, то есть $Z_2=\dfrac{\overline{Z_1}}{2}$.

3. 3

   Подставим это во второе уравнение. Обозначим $w=\overline{Z_1}$, тогда $(1-i)(w+3)=4\cdot\frac{w}{2}=2w\ \Longrightarrow\ (1-i)w+3-3i=2w.$

4. 4

   Решим полученное линейное уравнение относительно $w$. Соберём все $w$ в одну часть: $3-3i=\bigl(2-(1-i)\bigr)w=(1+i)w$, отсюда $w=\frac{3-3i}{1+i}=\frac{3(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{3(-2i)}{2}=-3i.$

5. 5

   Восстановим $Z_1$ и проверим исходные условия. Из $\overline{Z_1}=-3i$ следует $Z_1=3i$, а $Z_2=-\tfrac{3i}{2}$. Проверим: $\overline{Z_1}/Z_2=(-3i)/(-1.5i)=2$, и $(1-i)(-3i+3)=3(1-i)^2=-6i=4(-1.5i)$. Оба уравнения выполняются.

6. 6

   Вычислим модуль. $|Z_1|=|3i|=3$, значит, ответ: $|Z_1|^{3}=3^{3}=27$.