Решить уравнение (515 − 0.27x)(368 − 0.27x)(98 − 0.18x) − (515 − 0.27x)·98² − (98 − 0.18x)·270² = 0 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначаем три линейных множителя буквами. Положим

   $A=515-0.27x,\qquad B=368-0.27x,\qquad C=98-0.18x,$

   тогда, учитывая $98^{2}=9604$ и $270^{2}=72900$, уравнение принимает вид

   $ABC-9604A-72900C=0.$

   Обозначения держат выкладки в порядке и делают общий множитель $A$ заметным.

2. 2

   Раскрываем $BC$ и группируем.

   $BC=(368-0.27x)(98-0.18x)=36064-92.7x+0.0486x^{2},$

   поэтому $BC-9604=26460-92.7x+0.0486x^{2}$, и уравнение превращается в

   $(515-0.27x)\bigl(0.0486x^{2}-92.7x+26460\bigr)-72900(98-0.18x)=0.$

3. 3

   Раскрываем всё до конца, работая с точными дробями. Если вместо десятичных дробей использовать $0.27=\tfrac{27}{100}$, $0.18=\tfrac{18}{100}$, погрешность не накапливается; результат таков:

   $-0.013122x^{3}+50.058x^{2}-41762.7x+6482700=0,$

   Умножив исходное уравнение на $-\tfrac{500000}{6561}$, получаем приведённое кубическое уравнение $x^{3}-\tfrac{103000}{27}x^{2}+\tfrac{2320150000}{729}x-\tfrac{120050000000}{243}=0$.

4. 4

   Находим единственный точный корень. Перебирая значения, при которых скобки становятся «круглыми», видим, что при $x=\tfrac{24500}{27}$ произведение $0.27x=245$ в точности, и подстановка этого значения в кубическое уравнение с точными дробями даёт $0$. Значит $\left(x-\tfrac{24500}{27}\right)$ — множитель, а $x=\tfrac{24500}{27}=907.\overline{407}$ — корень.

5. 5

   Делим и решаем квадратное уравнение. После деления по схеме Горнера остаётся $x^{2}-\tfrac{78500}{27}x+\tfrac{4900000}{9}=0$, то есть

   $27x^{2}-78500x+14700000=0,$

   с дискриминантом $78500^{2}-4(27)(14700000)=4574650000$. Так как $4574650000=10^{4}\cdot 457465$, а число $457465=5\cdot 91493$ свободно от квадратов, корни остаются иррациональными:

   $x=\frac{39250\pm 50\sqrt{457465}}{27}.$

6. 6

   Выписываем три корня и проверяем. Численно $x\approx 201.1822413$, $x=907.4074074$ и $x\approx 2706.2251661$. Подстановка каждого из них в исходную форму с произведением даёт соответственно $0$, $-9\times10^{-10}$ и $0$ — крошечный остаток есть погрешность вычислений с плавающей точкой на величине порядка $10^{6}$. Небрежное раскрытие скобок, дающее вместо этого $-41777.7x+6479700$, ошибочно: у такого кубического уравнения корня $24500/27$ нет.