Разделите x³ + x + 1 на x² + 2x − 3. Укажите частное и остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Следует заметить, что схема Горнера здесь не применяется. Схема Горнера подходит только для делителей вида $x-c$, то есть линейных и с коэффициентом при $x$ равным $1$. Делитель $x^2+2x-3$ имеет степень $2$, поэтому требуется общий алгоритм — деление многочленов уголком. Запишем делимое, добавив отсутствующую степень:

   $x^3+0\cdot x^2+x+1$

2. 2

   Делим старшие члены, чтобы получить первый член частного. Сравниваем $x^3$ и $x^2$:

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   Умножим весь делитель на $x$ и вычтем:

   $x^3+0x^2+x+1-\left(x^3+2x^2-3x\right)=-2x^2+4x+1$

3. 3

   Повторяем для нового старшего члена. Теперь сравниваем $-2x^2$ и $x^2$:

   $\frac{-2x^2}{x^2}=-2$

   Умножим делитель на $-2$ и вычтем:

   $-2x^2+4x+1-\left(-2x^2-4x+6\right)=8x-5$

   Здесь важно не ошибиться со знаками: $4x-(-4x)=8x$, $1-6=-5$.

4. 4

   Останавливаемся, когда степень остатка меньше степени делителя. Полученный остаток $8x-5$ — это многочлен степени $1$, а делитель степени $2$, значит деление завершено:

   $\text{частное}=x-2,\qquad \text{остаток}=8x-5$

   Остаток — многочлен, а не число, что обычно при делении на многочлен степени $2$ и выше.

5. 5

   Записываем и проверяем результат.

   $\frac{x^3+x+1}{x^2+2x-3}=x-2+\frac{8x-5}{x^2+2x-3}$

   Проверим умножением: $(x^2+2x-3)(x-2)=x^3-2x^2+2x^2-4x-3x+6=x^3-7x+6$, и $x^3-7x+6+(8x-5)=x^3+x+1\;\checkmark$.

6. 6

   Дополнительно: проверка через корни делителя. Так как $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$, остаток $8x-5$ можно проверить в корнях делителя. При $x=1$: подставляя в делимое, получаем $1+1+1=3$, в остаток — $8-5=3\;\checkmark$. При $x=-3$: делимое $-27-3+1=-29$, остаток $-24-5=-29\;\checkmark$. Совпадение значений в двух точках полностью определяет линейный остаток.