Рационализируйте знаменатель в 7/(√5−2) и упростите ответ.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим сопряжённое выражение. В знаменателе — разность корня и числа; его сопряжённое отличается только знаком между слагаемыми:

   $\text{сопряжённое для }\sqrt{5}-2\ \text{— это}\ \sqrt{5}+2.$

2. 2

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое:

   $\frac{7}{\sqrt{5}-2}\cdot\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{7\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}.$

3. 3

   Посчитаем знаменатель по формуле разности квадратов:

   $\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}=5-4=1.$

   Здесь и кроется особенность задачи: знаменатель обращается в 1, вся дробь исчезает.

4. 4

   Запишем результат без знаменателя:

   $\frac{7\left(\sqrt{5}+2\right)}{1}=7\sqrt{5}+14.$

   Оставлять ответ в виде $\dfrac{7\sqrt{5}+14}{1}$ — не ошибка, но это не упрощённая форма; единицу можно опустить.

5. 5

   Проверим численно. $\sqrt{5}=2.2360680$, тогда исходное выражение: $7/0.2360680=29.6524758$, а $7(2.2360680)+14=15.6524758+14=29.6524758$. Совпадает до последней цифры.