Решите уравнение (1/3)(x − 3)² + (1/6)(x + 2)² = (x/2 − 1)(x/2 + 1) + (1/4)(x − 2)².

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем скобки в левой части. $(x-3)^2=x^2-6x+9$, а $(x+2)^2=x^2+4x+4$, поэтому левая часть примет вид $\frac{1}{3}x^2-2x+3+\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$.

2. 2

   Приведём подобные слагаемые в левой части. $\frac13x^2+\frac16x^2=\frac12x^2$; $-2x+\frac23x=-\frac43x$; $3+\frac23=\frac{11}{3}$. Получаем: $\frac12x^2-\frac43x+\frac{11}{3}$.

3. 3

   Раскроем правую часть, используя формулу разности квадратов. $\left(\frac12x-1\right)\left(\frac12x+1\right)=\frac14x^2-1$, а $\frac14(x-2)^2=\frac14x^2-x+1$. Складываем: $\frac12x^2-x$, так как константы $-1$ и $+1$ взаимно уничтожаются.

4. 4

   Заметим, что квадратные члены совпадают. В обеих частях стоит $\frac12x^2$, поэтому после их сокращения остаётся линейное уравнение $-\frac43x+\frac{11}{3}=-x$. Это объясняет, почему задача проще, чем кажется: на самом деле она линейная.

5. 5

   Решим линейное уравнение. Прибавим $\frac43x$ к обеим частям: $\frac{11}{3}=-x+\frac43x=\frac13x$. Умножая на $3$, получаем $x=11$.

6. 6

   Проверим подстановкой $x=11$. Левая часть: $\frac13(8)^2+\frac16(13)^2=\frac{64}{3}+\frac{169}{6}=\frac{297}{6}=\frac{99}{2}$. Правая часть: $\left(\frac{9}{2}\right)\left(\frac{13}{2}\right)+\frac14(9)^2=\frac{117}{4}+\frac{81}{4}=\frac{198}{4}=\frac{99}{2}$. Оба выражения дают одинаковый результат.