Запишите область определения f(x) = x / ∛(x² − 36) в виде интервалов.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, какие ограничения накладывает кубический корень. Нечётные корни существуют при любом действительном подкоренном выражении — например, $\sqrt[3]{-8} = -2$ вполне корректно вычисляется. В отличие от квадратного корня, $\sqrt[3]{x^2-36}$ не требует, чтобы $x^2 - 36$ было неотрицательным. Классическая ошибка — ошибочно требовать $x^2 \ge 36$, как для квадратного корня.

2. 2

   Найдём, где знаменатель обращается в ноль. Единственное реальное ограничение — это деление на ноль. $\sqrt[3]{A} = 0$ только при $A = 0$:

   $x^2 - 36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 6$

3. 3

   Исключим эти две точки. Если убрать $-6$ и $6$ из $\mathbb{R}$, получаем

   $(-\infty,-6) \cup (-6,6) \cup (6,\infty)$

4. 4

   Проверим значение, где квадратный корень не определён. При $x = 0$ подкоренное выражение равно $-36$, и $\sqrt[3]{-36} = -3.301927$, значит $f(0) = \tfrac{0}{-3.301927} = 0$ — функция определена. Если бы стоял квадратный корень, весь интервал $(-6,6)$ был бы исключён.

5. 5

   Проанализируем поведение около исключённых точек. При $x \to 6^{-}$, $x^2 - 36 \to 0^{-}$ и кубический корень стремится к нулю снизу, так что $f(x) \to -\infty$; справа — к $+\infty$. В обоих случаях — вертикальные асимптоты, значит, $x = \pm6$ действительно нужно исключить, а не «заполнять».