Решите неравенство |x + 1| + |x + 2| > 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки излома. Каждый модуль меняет запись там, где подмодульное выражение обращается в нуль:

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2$

   Эти две точки делят прямую на три промежутка: $x<-2$, $-2\le x<-1$ и $x\ge-1$. На каждом из них оба модуля заменяются обычными линейными выражениями.

2. 2

   Случай 1: x < −2 (оба подмодульных выражения отрицательны). Тогда $|x+1|=-x-1$ и $|x+2|=-x-2$, поэтому

   $-2x-3>3\Rightarrow -2x>6\Rightarrow x<-3$

   При делении на $-2$ знак неравенства меняется на противоположный. Пересекая $x<-3$ с условием случая $x<-2$, получаем $x<-3$.

3. 3

   Случай 2: −2 ≤ x < −1 (знаки разные). Здесь $|x+1|=-x-1$, но $|x+2|=x+2$, и слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются:

   $(-x-1)+(x+2)=1>3$

   Это неверно при любом $x$ из промежутка, поэтому средняя полоса не даёт ничего. Геометрически: между точками излома сумма двух расстояний постоянна и равна $1$.

4. 4

   Случай 3: x ≥ −1 (оба подмодульных выражения неотрицательны). Тогда

   $(x+1)+(x+2)=2x+3>3\Rightarrow 2x>0\Rightarrow x>0$

   Пересечение с $x\ge-1$ оставляет $x>0$.

5. 5

   Объединяем случаи.

   $x<-3\quad\text{или}\quad x>0,\qquad\text{т. е.}\qquad(-\infty,-3)\cup(0,\infty)$

6. 6

   Читаем ответ на языке расстояний и проверяем. Величина $|x+1|+|x+2|$ — это суммарное расстояние от $x$ до $-1$ и до $-2$; её минимум равен длине промежутка $1$ и достигается на всей средней полосе, а вне неё она растёт на $2$ за единицу — поэтому значения $3$ она достигает ровно в одной единице от каждой точки излома, при $x=-3$ и $x=0$. Проверка: при $x=-3$ имеем $|{-2}|+|{-1}|=3$ ✓, при $x=0$ — $|1|+|2|=3$ ✓, а перебор $1601$ пробной точки от $-8$ до $8$ всюду согласуется с найденным множеством решений ✓.