Выполните сложение и упростите: x/(x − 8) + (x − 8)/x.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдите общий знаменатель и область допустимых значений. Знаменатели $x-8$ и $x$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель — их произведение:

   $x(x-8),\qquad x\neq 0,\ x\neq 8$

2. 2

   Приведите каждую дробь к этому знаменателю. Первую умножьте на $\tfrac{x}{x}$, вторую — на $\tfrac{x-8}{x-8}$:

   $\frac{x}{x-8}=\frac{x^2}{x(x-8)},\qquad\frac{x-8}{x}=\frac{(x-8)^2}{x(x-8)}$

3. 3

   Сложите числители.

   $\frac{x^2+(x-8)^2}{x(x-8)}$

4. 4

   Раскройте скобки и упростите числитель. Так как $(x-8)^2=x^2-16x+64$, получаем

   $x^2+x^2-16x+64=2x^2-16x+64=2\left(x^2-8x+32\right)$

5. 5

   Проверьте, сокращается ли что-нибудь. У скобки $x^2-8x+32$ дискриминант равен $64-128=-64<0$, поэтому она не раскладывается на действительные линейные множители и уж точно не имеет общих множителей с $x$ или $x-8$. Значит, выражение упрощено полностью:

   $\frac{2\left(x^2-8x+32\right)}{x(x-8)}$

   Численная проверка при $x=4$: слева $=\tfrac{4}{-4}+\tfrac{-4}{4}=-2$; справа $=\tfrac{2(16-32+32)}{4(-4)}=\tfrac{32}{-16}=-2$ $\checkmark$.