Чему равно частное (3x⁴ − 4x² + 8x − 1) ÷ (x − 2)?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем делимое, учитывая все степени. При делении многочленов столбиком важно, чтобы каждый показатель степени был представлен — для пропущенного члена ставится коэффициент $0$. В данном случае отсутствует член с $x^3$, поэтому записываем:

   $3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

   Если пропустить этот шаг, легко получить неверный ответ.

2. 2

   Делим старшие члены для первого члена частного. На каждом этапе сравниваются только старшие члены:

   $\frac{3x^4}{x} = 3x^3$

   Умножаем результат на делитель и вычитаем:

   $3x^3(x-2) = 3x^4 - 6x^3$

   $(3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + \ldots) - (3x^4 - 6x^3) = 6x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

3. 3

   Повторяем для нового старшего члена. Теперь в остатке старший член — $6x^3$:

   $\frac{6x^3}{x} = 6x^2, \qquad 6x^2(x-2) = 6x^3 - 12x^2$

   Вычитая, получаем:

   $8x^2 + 8x - 1$

4. 4

   Ещё два шага — и частное готово. Для $8x^2$:

   $\frac{8x^2}{x} = 8x, \qquad 8x(x-2) = 8x^2 - 16x \ \Rightarrow\ 24x - 1$

   и для $24x$:

   $\frac{24x}{x} = 24, \qquad 24(x-2) = 24x - 48 \ \Rightarrow\ 47$

   Остаток $47$ — это число степени $0$, меньшей, чем у делителя, значит деление завершено.

5. 5

   Проверим по тождеству деления. Результат деления должен удовлетворять равенству: делимое $=$ делитель $\times$ частное $+$ остаток:

   $(x-2)(3x^3 + 6x^2 + 8x + 24) + 47 = 3x^4 - 4x^2 + 8x - 1$

   Если раскрыть скобки слева, получится исходный многочлен. Также по теореме остатка: $f(2) = 48 - 16 + 16 - 1 = 47$, что совпадает с остатком.