Графики y = 2x² − 21x + 64 и y = 3x + a, где a — постоянная, пересекаются ровно в одной точке (x, y). Чему равно x?

Step-by-step solution

1. 1

   Приравниваем два выражения для $y$. В точке пересечения обе кривые дают одинаковый $y$ при одном и том же $x$:

   $2x^2 - 21x + 64 = 3x + a$

2. 2

   Переносим всё в одну часть. Вычтем $3x + a$:

   $2x^2 - 24x + (64 - a) = 0$

   Это квадратное уравнение относительно $x$, свободный член которого всё ещё содержит неизвестную $a$.

3. 3

   Переводим «ровно одна точка» в условие на дискриминант. У квадратного уравнения ровно один (кратный) корень тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю. При $A = 2$, $B = -24$, $C = 64 - a$:

   $B^2 - 4AC = (-24)^2 - 4(2)(64-a) = 576 - 512 + 8a = 8a + 64 = 0$

4. 4

   Считываем $x$ прямо из кратного корня — короткий путь. Значение $a$ на самом деле не нужно. Когда дискриминант обращается в нуль, двойной корень равен $x = -\dfrac{B}{2A}$ — это абсцисса вершины параболы $2x^2-24x+(64-a)$:

   $x = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

5. 5

   Для полноты находим и $a$. Из $8a + 64 = 0$ получаем $a = -8$, поэтому уравнение принимает вид $2x^2 - 24x + 72 = 2(x-6)^2 = 0$ с двойным корнем $x = 6$ ✓.

6. 6

   Проверяем, что точка лежит на обоих графиках. Парабола: $2(36) - 21(6) + 64 = 72 - 126 + 64 = 10$. Прямая: $3(6) + (-8) = 10$ ✓. Единственная точка пересечения — $(6, 10)$, значит $x = 6$.