Решите уравнение x⁴ + x³ + x² + x = 4.66.

Step-by-step solution

1. 1

   Выясняем, сколько вещественных корней надо искать. Запишем $g(x)=x(x+1)(x^2+1)$: множитель $x^2+1$ в нуль не обращается, поэтому $g<0$ только на $(-1,0)$, а $g\to+\infty$ в обе стороны. Значит, горизонтальная прямая $y=4.66$ пересекает график ровно дважды, и ответ, в котором указан лишь один корень, неполон.

2. 2

   Локализуем положительный корень. $g(1)=4$ и $g(1.1)=5.1051$, поэтому корень лежит в $(1,1.1)$ — ближе к левому концу, ведь $4.66$ ближе к $4$, чем к $5.11$.

3. 3

   Уточняем положительный корень.

   $x_1=1.0620313,\qquad g(x_1)=4.660000$

   Встречающееся значение $1.06463$ даёт $g=4.6894$, промах на $0.03$; так как вблизи этой точки $g'\approx 11$, это отвечает погрешности по $x$ около $0.0026$.

4. 4

   Локализуем отрицательный корень. $g(-1.7)=4.6291$ (чуть меньше цели) и $g(-1.75)=5.3320$ (больше неё), поэтому корень лежит в $(-1.75,-1.7)$.

5. 5

   Уточняем отрицательный корень.

   $x_2=-1.7023038,\qquad g(x_2)=4.660000$

   Значение $-1.72880$ попадает внутрь этого отрезка, но даёт $g=5.0256$, что заметно больше $4.66$, так что корнем оно тоже не является.

6. 6

   Собираем ответ. Два вещественных решения — это $x\approx 1.0620313$ и $x\approx -1.7023038$; два оставшихся корня этого уравнения четвёртой степени комплексно сопряжены.