В театре взрослые и детские билеты были проданы в отношении 9 : 4. В день спектакля продали ещё 20 взрослых билетов и ни одного детского, после чего отношение стало 8 : 3. Сколько билетов каждого вида было продано раньше и сколько взрослых билетов продано всего?

Step-by-step solution

1. 1

   Превратите первое отношение в выражения с одной неизвестной. Отношение задаёт только пропорцию, поэтому введите коэффициент $k$:

   $\text{взрослые}=9k,\qquad \text{детские}=4k.$

   Две отдельные неизвестные оставили бы систему недоопределённой; именно коэффициент делает одно уравнение достаточным.

2. 2

   Опишите ситуацию после дополнительных продаж. Меняется только число взрослых билетов:

   $\text{взрослые}=9k+20,\qquad \text{детские}=4k.$

3. 3

   Приравняйте новое отношение к 8 : 3.

   $\frac{9k+20}{4k}=\frac{8}{3}.$

4. 4

   Перемножьте крест-накрест и найдите k.

   $3(9k+20)=8(4k)\ \Longrightarrow\ 27k+60=32k\ \Longrightarrow\ 5k=60\ \Longrightarrow\ k=12.$

5. 5

   Вернитесь к настоящим количествам билетов.

   $\text{взрослых накануне}=9(12)=108,\qquad \text{детских}=4(12)=48,$
   $\text{взрослых после}=108+20=128.$

6. 6

   Проверьте оба отношения. Накануне: $108:48$, и после деления обоих чисел на $12$ получаем $9:4$ ✓. После: $128:48$, и после деления на $16$ получаем $8:3$ ✓. Доля взрослых билетов выросла с $\tfrac{9}{13}$ до $\tfrac{8}{11}$ от общего числа, что согласуется с тем, что добавляли только взрослые билеты.