Многочлен третьей степени f(x) имеет корни −3, 10 и 6, а коэффициент при x³ равен 5. Найдите выражение для f(x).

Step-by-step solution

1. 1

   Превращаем каждый корень в множитель. По теореме Безу (теореме о разложении на множители) равенство $f(r) = 0$ выполняется в точности тогда, когда $(x - r)$ делит $f(x)$. Поэтому корни $-3$, $10$ и $6$ дают множители $(x+3)$, $(x-10)$ и $(x-6)$. Следите за знаком: корню $-3$ отвечает $\bigl(x-(-3)\bigr) = (x+3)$.

2. 2

   Учитываем неизвестный числовой множитель. Три линейных множителя уже дают степень $3$, но это ещё не всё: у любого многочлена, отличающегося постоянным множителем, будут те же самые корни. Значит, самая общая запись такова:

   $f(x) = a(x+3)(x-10)(x-6)$

3. 3

   Определяем $a$ по старшему коэффициенту. При раскрытии скобок слагаемое с $x^3$ получается единственным способом — если из каждой скобки взять $x$, поэтому член с $x^3$ равен $a \cdot x \cdot x \cdot x = ax^3$. Приравнивая его к заданному коэффициенту при $x^3$, получаем:

   $a = 5 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 5(x+3)(x-10)(x-6)$

4. 4

   Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду. Сначала перемножим две скобки, которые сворачиваются проще всего:

   $(x+3)(x-10) = x^2 - 7x - 30$

   Затем умножим результат на оставшуюся скобку:

   $(x^2 - 7x - 30)(x-6) = x^3 - 13x^2 + 12x + 180$

   И наконец умножим всё на $5$:

   $f(x) = 5x^3 - 65x^2 + 60x + 900$

5. 5

   Проверяем, что все три корня действительно обращают многочлен в нуль. Подстановка каждого корня в стандартную форму даёт $f(-3) = f(6) = f(10) = 0$, а коэффициент при $x^3$ равен $5$, как и требовалось. Обе записи — разложенная и раскрытая — являются верным ответом: разложение показывает корни, стандартный вид — коэффициенты.