Разложите x² + x - 6 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Формулируем задачу подбора. Для приведённого квадратного трёхчлена $x^{2}+bx+c$ разложение имеет вид $(x+m)(x+n)$, где $mn=c$, $m+n=b$. В данном случае $c=-6$, $b=+1$, значит, требуется найти два числа с произведением $-6$ и суммой $1$.

2. 2

   Анализируем знаки. Отрицательное произведение означает, что числа должны быть разных знаков. Небольшая положительная сумма указывает, что положительное число по модулю больше — ровно на $1$.

3. 3

   Перебираем пары с произведением $-6$.

   $(1,-6)\to-5,\quad(6,-1)\to5,\quad(2,-3)\to-1,\quad(3,-2)\to1\ \checkmark$

   Подходит пара $3$ и $-2$: $3\times(-2)=-6$ ✓ и $3+(-2)=1$ ✓.

4. 4

   Записываем разложение.

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

5. 5

   Проверяем раскрытием скобок. $(x+3)(x-2)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6$ ✓, проверка верна для всех целых $x$ от $-30$ до $29$ ✓. Дискриминант $1+24=25=5^{2}$ — полный квадрат, что заранее гарантирует целочисленные множители.

6. 6

   Находим корни и анализируем знаки. Нули: $x=-3$ и $x=2$. Парабола направлена вверх, поэтому $x^{2}+x-6<0$ только на интервале $(-3,2)$, а вне его выражение положительно. Вершина находится в середине $x=-\tfrac12$, где значение равно $\tfrac14-\tfrac12-6=-\tfrac{25}{4}$ — это минимум.