Найдите произведение (x + 10)(x² − 10x + 100) и упростите ответ.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим структуру выражения до умножения. Формула суммы кубов имеет вид:

   $(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}.$

   Сравним с нашим выражением: при $a=x$ и $b=10$ получаем $a^2=x^2$, $-ab=-10x$, $b^2=100$ — все члены совпадают по форме.

2. 2

   Применим формулу суммы кубов:

   $(x+10)\left(x^{2}-10x+100\right)=x^{3}+10^{3}=x^{3}+1000.$

3. 3

   Проверим результат раскрытием скобок в лоб. Распишем произведение: сначала умножим $x$ на трёхчлен, затем $10$:

   $x\left(x^{2}-10x+100\right)=x^{3}-10x^{2}+100x,$
   $10\left(x^{2}-10x+100\right)=10x^{2}-100x+1000.$

4. 4

   Сложим полученные строки и увидим, как средние члены взаимно уничтожаются:

   $x^{3}+\left(-10x^{2}+10x^{2}\right)+\left(100x-100x\right)+1000=x^{3}+1000.$

   Это не случайность — слагаемое $-ab$ в трёхчлене специально выбрано так, чтобы оба средних столбца сократились.

5. 5

   Проверим результат подстановкой чисел. При $x=1$: $(11)(1-10+100)=11\cdot 91=1001=1^3+1000$. При $x=-10$ первый множитель равен $0$, и $(-10)^3+1000=0$, что подтверждает: $x=-10$ — действительный корень $x^3+1000$.