Найти a, b и c: 10a + 10b + c = 2.9, 400a + 20b + c = 4.0 и 900a + 30b + c = 4.9.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем переменную, которую дешевле всего исключить. Во всех трёх уравнениях $c$ входит с коэффициентом ровно $1$, поэтому вычитание любых двух уравнений убирает $c$ вообще без домножений. Исключение $a$ потребовало бы неудобных множителей вроде $40$ и $90$.

2. 2

   Вычитаем первое уравнение из второго.

   $(400a + 20b + c) - (10a + 10b + c) = 4.0 - 2.9$

   $390a + 10b = 1.1 \ \Longrightarrow \ 39a + b = 0.11 \qquad (1)$

3. 3

   Вычитаем второе уравнение из третьего.

   $(900a + 30b + c) - (400a + 20b + c) = 4.9 - 4.0$

   $500a + 10b = 0.9 \ \Longrightarrow \ 50a + b = 0.09 \qquad (2)$

   Теперь перед нами два уравнения с двумя неизвестными, причём в обоих коэффициент при $b$ равен $1$.

4. 4

   Вычитаем (1) из (2) и находим a.

   $(50a + b) - (39a + b) = 0.09 - 0.11 \ \Longrightarrow \ 11a = -0.02$

   $a = -\frac{0.02}{11} = -\frac{1}{550} \approx -0.0018182$

   Здесь стоит перейти к точным дробям: десятичная запись бесконечна, и округлённые значения, перенесённые в две следующие подстановки, заметно испортят $b$ и $c$.

5. 5

   Обратной подстановкой находим b. Из (1) при $a = -\frac{1}{550}$:

   $b = 0.11 + \frac{39}{550} = \frac{11}{100} + \frac{39}{550} = \frac{121}{1100} + \frac{78}{1100} = \frac{199}{1100} \approx 0.1809091$

6. 6

   Находим c и проверяем все три уравнения. Из первого уравнения:

   $c = 2.9 - 10a - 10b = 2.9 + \frac{1}{55} - \frac{199}{110} = \frac{61}{55} \approx 1.1090909$

   Проверка: второе уравнение даёт $400(-\tfrac{1}{550}) + 20(\tfrac{199}{1100}) + \tfrac{61}{55} = -\tfrac{8}{11} + \tfrac{199}{55} + \tfrac{61}{55} = 4$, а третье даёт $4.9$. Точный метод Гаусса приводит к тем же трём дробям.