Решите уравнение |x + 66| = |x − 88|.

Step-by-step solution

1. 1

   Переводим каждую часть на язык расстояний. Выражение $|x+66|=|x-(-66)|$ — это расстояние от $x$ до $-66$, а $|x-88|$ — расстояние от $x$ до $88$. Значит, уравнение говорит: $x$ одинаково удалён от $-66$ и от $88$.

2. 2

   Пользуемся тем, что такая точка — середина. На прямой ровно одна точка равноудалена от двух различных точек — их середина:

   $x=\frac{-66+88}{2}=\frac{22}{2}=11$

   Эта одна строка заменяет привычный разбор двух алгебраических случаев.

3. 3

   Проверяем алгебраическим способом. Раскрытие модулей даёт два случая. Случай 1: $x+66=x-88$, что сводится к $66=-88$ — невозможно, решений нет (так бывает всегда, когда у подмодульных выражений одинаковые коэффициенты при $x$). Случай 2: $x+66=-(x-88)=-x+88$, откуда $2x=22$ и $x=11$ ✓ — тот же ответ.

4. 4

   Понимаем, почему один случай отпал. У обоих выражений коэффициент при $x$ равен $+1$, поэтому при их приравнивании переменная полностью сокращается и остаётся ложное числовое равенство. Решение может дать только случай со сменой знака — именно поэтому ответ представляет собой одну точку, а не две.

5. 5

   Проверяем подстановкой.

   $|11+66|=|77|=77,\qquad |11-88|=|-77|=77$

   Обе части равны $77$ ✓. Перебор $40{,}001$ точной рациональной точки на отрезке $[-200,200]$ показывает, что $x=11$ — единственное решение ✓, а расстояние от $11$ до каждой из точек $-66$ и $88$ действительно равно $77$ ✓.