Найдите частное и остаток при делении 3x² - 5 на x + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Перед делением дополним пропущенный член. В делимом отсутствует член с $x$, а при делении столбиком важно, чтобы были все разряды:

   $3x^{2}-5=3x^{2}+0x-5.$

   Пропуск этого «пустого» слагаемого — самая частая причина ошибки в остатке.

2. 2

   Делим старшие члены.

   $\frac{3x^{2}}{x}=3x,$

   значит, первый член частного — $3x$. Умножим на делитель и вычтем:

   $\left(3x^{2}+0x\right)-3x(x+1)=\left(3x^{2}+0x\right)-\left(3x^{2}+3x\right)=-3x.$

3. 3

   Сносим следующий член и повторяем. В рабочей строке теперь $-3x-5$. Опять делим старшие члены:

   $\frac{-3x}{x}=-3,$

   значит, к частному добавляется $-3$. Умножим и вычтем:

   $(-3x-5)-(-3)(x+1)=(-3x-5)-(-3x-3)=-2.$

4. 4

   Останавливаемся, когда степень остатка меньше степени делителя. Осталось $-2$ — это степень $0$, что меньше степени $1$ у $x+1$, значит, деление завершено:

   $\text{частное}=3x-3,\qquad \text{остаток}=-2.$

5. 5

   Проверим умножением.

   $(x+1)(3x-3)+(-2)=3x^{2}-3x+3x-3-2=3x^{2}-5\ \checkmark$

6. 6

   Перепроверим по теореме остатка. Деление на $x+1$ соответствует подстановке $x=-1$:

   $f(-1)=3(-1)^{2}-5=3-5=-2,$

   что совпадает с остатком, найденным при делении столбиком.