Решите неравенство |x − 1| + |x + 1| < 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки излома. Каждый модуль меняет формулу там, где подмодульное выражение обращается в нуль: при $x=1$ и $x=-1$. Эти точки разбивают прямую на $x<-1$, $-1\le x<1$ и $x\ge1$, и на каждом куске оба модуля превращаются в обычные линейные выражения.

2. 2

   Случай 1: x < −1 (оба подмодульных выражения отрицательны). Тогда $|x-1|=1-x$ и $|x+1|=-x-1$, а их сумма равна $-2x$:

   $-2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x>-2$

   При делении на $-2$ знак неравенства переворачивается. Пересечение $x>-2$ с условием случая $x<-1$ даёт $-2<x<-1$.

3. 3

   Случай 2: −1 ≤ x < 1 (знаки разные). Здесь $|x-1|=1-x$ и $|x+1|=x+1$, и члены с $x$ взаимно уничтожаются:

   $(1-x)+(x+1)=2<4$

   Это верно всегда, поэтому весь промежуток $[-1,1)$ входит в решение. Между точками излома сумма постоянна и равна $2$.

4. 4

   Случай 3: x ≥ 1 (оба подмодульных выражения неотрицательны). Тогда сумма равна $(x-1)+(x+1)=2x$:

   $2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x<2$

   Пересечение с $x\ge1$ даёт $1\le x<2$.

5. 5

   Объединяем три случая.

   $(-2,-1)\cup[-1,1)\cup[1,2)=(-2,2)$

   Три куска без зазоров стыкуются в точках излома в один промежуток:

   $-2<x<2$

6. 6

   Читаем ответ на языке расстояний и проверяем. Выражение $|x-1|+|x+1|$ — это суммарное расстояние от $x$ до $1$ и до $-1$. Его минимум равен расстоянию между этими точками, то есть $2$, и достигается во всех точках между ними; снаружи сумма растёт на $2$ за единицу. Поэтому значения $4$ она достигает ровно через единицу за каждой точкой излома — при $x=-2$ и $x=2$. Проверка: $|{-3}|+|{-1}|=4$ при $x=-2$ ✓ и $|1|+|3|=4$ при $x=2$ ✓, обе точки исключены строгим неравенством. Перебор $12{,}001$ точек на $[-6,6]$ согласуется с $(-2,2)$ в каждой точке ✓.