График функции f(x) = |x| сдвинули на 4 единицы вверх и на 2 единицы вправо. Записать уравнение новой функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Отталкиваемся от исходной функции. График $f(x)=|x|$ — это «галочка» с вершиной в начале координат $(0,0)$ и лучами с угловыми коэффициентами $\pm 1$. Любой график этого семейства — та же самая галочка, только помещённая в другое место.

2. 2

   Сдвигаем на 2 единицы вправо. Заменяем аргумент $x$ на $x-2$:

   $f(x-2)=|x-2|$

   Знак минус даёт сдвиг вправо. Проще всего понять это так: излом возникает там, где выражение под модулем обращается в нуль, а $x-2=0$ при $x=2$ — на две единицы правее исходного излома.

3. 3

   Сдвигаем на 4 единицы вверх. Прибавляем $4$ ко всему выражению:

   $|x-2|+4$

4. 4

   Формулируем общее правило. Результат укладывается в стандартную форму записи через вершину

   $f(x)=|x-h|+k\quad\text{при } h=2,\;k=4,\quad\text{вершина }(2,4)$

   то есть $h$ живёт внутри со знаком минус, а $k$ — снаружи со знаком плюс; это единственное правило, стоящее за всеми задачами такого типа.

5. 5

   Проверяем по точкам. Точка $(0,0)$ исходного графика должна перейти в $(2,4)$: новая формула даёт $|2-2|+4=4\;\checkmark$. Точка $(-3,3)$ должна перейти в $(-1,7)$: формула даёт $|-1-2|+4=3+4=7\;\checkmark$. Оба луча сохраняют угловые коэффициенты $\pm 1$ — параллельный перенос меняет положение, но не форму графика.