Найдите и упростите разностное отношение (f(x+h) − f(x))/h для f(x) = 7/(3x − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем f(x + h). Подстановка затрагивает только знаменатель:

   $f(x+h) = \frac{7}{3(x+h)-1} = \frac{7}{3x+3h-1}$

2. 2

   Составим многоэтажную дробь.

   $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{7}{3x+3h-1} - \frac{7}{3x-1}\right)$

   Главное — свести внутреннюю разность к одной дроби до деления на $h$; иначе ничего не сократится.

3. 3

   Приведём к общему знаменателю.

   $\frac{7(3x-1) - 7(3x+3h-1)}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

   Числитель раскрывается в $21x - 7 - 21x - 21h + 7 = -21h$ — уничтожается всё, кроме $-21h$, ради чего манёвр и затевался.

4. 4

   Разделим на h и сократим.

   $\frac{-21h}{h\,(3x+3h-1)(3x-1)} = \frac{-21}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

5. 5

   Проверим и перейдём к пределу. При $x = 1.3$, $h = 0.07$ прямое отношение равно $-2.3284178$, и формула даёт $\tfrac{-21}{(3.11)(2.9)} = -2.3284178$. При $h \to 0$ выражение стремится к $\tfrac{-21}{(3x-1)^2}$, что и есть $\tfrac{d}{dx}\tfrac{7}{3x-1}$.